и снова я
мне завтра надо сдавать домашнее задание по математике, я ещё ничего не сделала
просить вас решить за меня-это наглость, поэтому может кто просто подскажет


первое задание: доказать [(1+n)/2]^n > n!
надо использовать индукцию и Bernoulli-Ungleichung.

я так начала:
[(1+n+1)/2]^(n+1) = (1+n/2)^n * (1+n/2) >(bernoulli) (1+n²/2)*(1+n/2) и зашла в тупик

потом подумала, может так:
(n+1)! = n!*(n+1)

что-то мой пост полностью не поместился,но в принципе не страшно, суть в том что не получается...
я вижу все рвутся мне помочь, поэтому продолжу решать сама

A_n:=[(n+1)/2]^n, B_n:=n!

Induktion.

z.z. [(1+n)/2]^n > n!, d.h. A_n > B_n

Induktionsanfang - klar

Induktionsschritt: n -> n+1
D.h. gegeben A_n > B_n, z.z. A_(n+1) > B_(n+1)

Beweis: A_(n+1)/A_n = ((n+2)/(n+1))^n * [(n+2)/2] = [(n+2)/2] * [1+1/(n+1)]^n >(Bernoulli)
> [(n+2)/2] * [1 + n/(n+1)]= [(n+2)/2] * [2n + 1/(n+1)] = (2n^2 + 5n +2)/(2n+2)=n+1 + [n/(2n+2)] > n+1

Daher A_(n+1)> B_(n+1) * (n+1)> n! * (n+1)= (n+1)!

Pankrat пишет:

---

A_n:=[(n+1)/2]^n, B_n:=n!

Beweis: A_(n+1)/A_n = ((n+2)/(n+1))^n * [(n+2)/2] = [(n+2)/2] * [1+1/(n+1)]^n >(Bernoulli)
> [(n+2)/2] * [1 + n/(n+1)]= [(n+2)/2] * [2n + 1/(n+1)] = (2n^2 + 5n +2)/(2n+2)=n+1 + [n/(2n+2)] > n+1

Daher A_(n+1)> B_(n+1) * (n+1)> n! * (n+1)= (n+1)!

---

до этого я бы никогда не додумалась
спасибо

trinitti пишет:

---

до этого я бы никогда не додумалась
спасибо

---

ю ар велком!

ок, следующее задание:
Bestimmen sie falls vorhanden Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der Mengen:
a) A={1/n + 1/m |m>=n ? N}
b) B={(-1)^n *(n/(n+2007)) | n ? N}

я уже решила:
а)1/n +1/m = (n+m)/nm =n) (n+n)/nn = 2/n 0 kein element N, also kein Minimum
infA=0

b) fallunterscheidung:
n=2k, dann sind alle b?B positiv, n/(n+2007) strebt gegen 0(kein element b), also infB=0
n=2k-1, dann sind alle b?B negativ, also supB=0

может надо подробней?

trinitti пишет:

---

b) fallunterscheidung:
n=2k, dann sind alle b?B positiv, n/(n+2007) strebt gegen 0(kein element b), also infB=0
n=2k-1, dann sind alle b?B negativ, also supB=0

---

ошиблась
n=2k: infB=0, aber es gibt ja auch ein supB
und bei n=2k-1 gibt es auch ein infB
muss die aber noch bestimmen...

inf A = 0, min A existiert nicht, max A = sup A = 2 (n=m=1)

(-1)^n *(n/(n+2007))= (-1)^n *(1- [2007/(n+2007)] )

fÜr gerade n hat man eine Folge von 2/2009 (n=2) bis 1 (n gegen unendlich)

für ungerade n hat man eine Folge von -1/2008 (n=1) bis -1 (n gegen unendlich)

Also:
inf B = - 1, sup B = 1, min und max existieren nicht.

ok, dann hab ich die aufgabe richtig gemacht